Ecuaciones cuadraticas

Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.) La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes  el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2). Ejemplos de ecuaciones cuadráticas: En esta a=2, b=5 y c=3 Aquí hay una un poco más complicada: ¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2" b=-3 ¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve. ¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática) ¿Qué tienen de especial? Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática: El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones! La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta: si es positivo, hay DOS soluciones si es cero sólo hay UNA solución, y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios . Solución Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos. Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0 Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2a Los coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1 Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5 Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10 Respuesta: x = -0.2 and -1 (Comprobación: 5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 0 5×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0) Ecuaciones cuadráticas disfrazadas Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una: Disfrazadas Qué hacer En forma estándar a, b y c x2 = 3x -1 Mueve todos los términos a la izquierda x2 - 3x + 1 = 0 a=1, b=-3, c=1 2(x2 - 2x) = 5 Desarrolla paréntesis 2x2 - 4x - 5 = 0 a=2, b=-4, c=-5 x(x-1) = 3 Desarrolla paréntesis x2 - x - 3 = 0 a=1, b=-1, c=-3 5 + 1/x - 1/x2 = 0 Multiplica por x2 5x2 + x - 1 = 0 a=5, b=1, c=-1 Método de solución de la ecuación cuadrática Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨ Se procede a completar un trinomio cuadrado perfecto con la expresión  Para lo cual se suma y resta  , que puede escribirse como Ahora simplemente se resuelve esta ecuación aprovechando que el término  puede despejarse El valor de x es lo que se conoce como fórmula general de la ecuación de segundo grado El teorema fundamental del álgebra garantiza que un polinomio de grado dos tiene dos soluciones que son precisamente las que se generan con el signo ¨+¨ y ¨-¨ de la x que se obtuvo De esta manera se tiene Si la ecuación tiene dos raíces reales diferentes entre sí Si  las dos raíces son reales e iguales  Si  las dos raíces son complejas conjugadas Ejemplos numéricos Primer ejemplo, 2x2 – x – 1 = 0 Primero se identifican los coeficientes a = 2, b = -1 y c = -1 Luego se procede a reemplazarlos en la fórmula Ambas soluciones son reales y diferentes entre sí. Note que  , en este ejemplo en particular  Segundo ejemplo, 9x2 – 6x + 1 = 0  Se identifican los coeficientes a = 9, b = -6 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son reales y e iguales entre sí. Note que  Tercer ejemplo, x2 + x + 1 = 0 Se identifican los coeficientes a = 1, b = 1 y c = 1 Se reemplazan los coeficientes en la fórmula Ambas soluciones son complejas conjugadas. Note que  , para esta ecuación se obtuvo  Propiedades básicas de las soluciones de la ecuación cuadrática Demostración Demostración Problemas que conducen a ecuaciones cuadráticas Ejemplo 1  Un Avión realiza un vuelo de 1200 millas. Si aumenta su velocidad en 80 millas por hora el recorrido puede hacerse en media hora menos. Cuál es su velocidad de vuelo? Sea V la velocidad a encontrar Asumiendo una velocidad constante el tiempo para volar las 1200 millas es  recuerde que tiempo es igual a espacio/velocidad Si recorre la misma distancia pero 80 millas por hora más el tiempo será  Si restamos los tiempos tenemos que la diferencia es media hora  Operemos Lo cual es lógico ya que el Avión avanza hacia su destino (la velocidad no puede ser negativa ni 0) La velocidad del Avión es 400 millas por hora (No se toma en cuenta la respuesta negativa ya que carece de sentido como solución) Ejemplo 2 Un terreno rectangular tiene 12 metros cuadrados de área y su perímetro es de 14 metros. Cuáles son las dimensiones del terreno? Sea "x" el ancho y sea "y" el largo del terreno. Tenemos que el área es el producto del largo por el ancho por tanto se tiene El perímetro es la suma de los lados del rectángulo luego Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Despejamos x de (2) para reemplazarlo en (1) Luego Se multiplica por -1 a ambos lados de la ecuación Si reemplazamos en x ambas soluciones tenemos que x puede ser 7 – 4 que es 3 o también 7 – 3 que es 4 por tanto no importa el orden las dimensiones siempre serán 3 y 4 metros (esto sucede porque el ancho y largo son nombres subjetivos y dependen de cómo se vea el rectángulo)