Desigualdades Lineales y Cuadráticas

DESIGUALDADES LINEALES:

También conocida como ecuación lineal, es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia . ax + b es un binomio del primer grado.
Las desigualdades o inecuaciones son expresiones matemáticas que nos indican que una cantidad es mayor o menor que otra. < >
Los signos de desigualdades son:

“<” menor que “>” mayor que 
“≤” menor o igual que “≥” mayor o igual que

Se llama primer miembro de la ecuación a la expresión que esta a la izquierda, y segundo miembro a la que esta a la derecha del símbolo de desigualdad.
Las desigualdades se utilizan en el campo de la ingeniería, finanzas y en la medicina principalmente.

Ejemplo de ecuación lineal:
2x+5\leq3x-2\leq6x+3

2x+5\leq3x-2

2x-3x\leq-2-5

-x\leq-7
x\geq\frac{-7}{-1}

x\geq7



3x-2\leq6x+3

3x-6x\leq3+2

-3x\leq5

x\geq\frac{5}{-3}


DESIGUALDADES CUADRATICAS:
Otro tipo de desigualdades son aquellas en las que la variable está elevada al cuadrado. Para resolverlas se deja al lado derecho de la desigualdad únicamente con el valor de 0, si es que no está; despues de ello se factoriza la expresión del lado izquierdo ( si no se factoriza directamente use fórmula general ).
ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.
Ejemplo de desigualdad cuadratica:
FORMULA GENERAL:
-b\pm \frac{\sqrt[2]{b^{2}-4\lefta(a \rightc)\left(c \right)}}{2\left(a \right)}



4x^{2}-5x-7\g\geq0

a=4  b=-5   c=-7

x=5 \pm \frac{\sqrt[2]{25-4(4)(-7)}}{2(4)}\geq 0
x=5 \pm \frac{\sqrt[2]{25+112}}{2(4)} \geq 0
x=5 \pm \frac{11.70}{8}\geq 0


x_{1}=



Inecuaciones Lineales

Anteriormente has usado los símbolos “>” (mayor que), “<” (menor que), “≥” (mayor o igual que) y  “≤” (menor o igual que) para describir como es la relación entre un número y otro.  Por ejemplo: 4 > -1 para señalar que 4 es mayor que -1, -2 < 3 para señalar que -2 es menor que 3  y  -3 < -1para señalar que -3 es menor que -1.  Estos ejemplos se conocen como desigualdades. 

Podemos usar la recta numérica para visualizar estas desigualdades.  

Observa que:

4 > -1,  porque 4 está a la derecha de -1 en la recta numérica.
-2 < 3,  porque -2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica.
-3 < -1, porque -3 está a la izquierda de -1 en la recta numérica.
 0 > -4, porque 4 está a la derecha de 0 en la recta numérica.

Una inecuación lineal es una expresión matemática que describe cómo se relacionan   entre  sí  dos  expresiones  lineales.    Por  ejemplo:  

 3 + 5x ≥ 18;     -2(x + 3) < -9. 

La solución de una inecuación lineal se puede representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales.


Inecuaciones Cuadráticas

Las  siguientes  expresiones  x2 + 2x < 15   y   x2  ≥  2x + 3  representan inecuaciones  cuadráticas.    Una  inecuación  cuadrática  es   de   la forma ax2 + bx + c < 0 (ó >0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La  inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el número cero está a un lado de la inecuación.  De manera que, la forma estándar de las dos inecuaciones    anteriormente   mencionadas     sería:    x2 + 2x – 15 < 0     y    x2 – 2x – 3 ≥  0. 

Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a ambos lados de la inecuación.

A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:

  1. Escribe la inecuación en forma estándar.
  2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.
  3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos.  Ordena las raíces en orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica.  Las raíces dividirán la recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede cambiar en ninguno de estos intervalos.
  4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la inecuación.  El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio sobre el intervalo completo.
  5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la recta numérica.



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